Thứ ba, 07/05/2019, 09:07 GMT+7

Tổng hợp các bài toán cơ bản và nâng cao về đồng dư

Bài 1:Có 45 bóng đèn được đánh số lần lượt từ 0, 1, 2, 3, 4… Trong một phút chỉ có một bóng đèn được sáng. Ở phút đầu tiên (phút thứ 1) thì bòng đèn số 0 sáng. Các phút sau bóng đèn sáng tiếp theo là ở vị trí: (Vị trí bóng đèn sáng hiện tại × 2015 + 17) mod 45.
Hỏi phút thứ 26 thì bóng đèn nào đang sáng?

(Trích câu hỏi từ facebook Diễn đàn giải toán nhanh bằng MTCT)

Bài giải:

Với bài này chúng ta có thể giải nhanh bằng máy tính như sau:

Nhập vào màn hình biểu thức:

$B=\left ( 2015A+17 \right )-Int\left ( \left ( 2015A+17 \right )\div 45 \right )\times 45:A=B$

Bấm máy:

Capture1

Nhập xong bấm Capture_1

máy hỏi giá trị A? Nhập 0 và bấm =

+Bấm liên tiếp bằng một vài lần ta cũng có thể đoán được là ở phút thứ 26 thì bóng đèn số 17 sẽ sáng.

Tuy nhiên ta cứ tiếp tục bấm bằng và đếm 25 lần giá trị B xuất ra, ta được

Kết quả là bóng đèn số 17 sáng.

Bài 2: Tìm bốn chữ số cuối cùng của $2222^{5555}+5555^{2222}$

(Câu hỏi của thành viên khoigrai1)

Bài giải:

Phân tích:

Áp dụng Quy luật các chữ số cuối của lũy thừa, ta có:

+ 2222 phân tích ra thừa số nguyên tố thì chỉ chứa thừa số 2, không chứa thừa số 5, nên:

$2222^{5555}\equiv 2222^{500\times 11+55}\equiv 9376\times 2222^{55}\left ( mod10000 \right )$

Ta phải tính tiếp $2222^{55}$ . Mà $55=32+16+7=2^{5}+2^{4}+2^{2}+3$

Nhập vào màn hình biểu thức $\left ( Ans-Int\left ( Ans:10000 \right )\times 10000 \right )^{2}$

Trước đó ta gán giá trị $Ans=2222$ .

Vậy ta tính được: (kết quả lấy theo mod 10000)

$2222^{2}\equiv 7284$

$2222^{4}\equiv 6656$

$2222^{8}\equiv 2336$

$2222^{16}\equiv 6896$

$2222^{32}\equiv 4816$

Vậy $2222^{5555}\equiv 9376\times 2222^{55}\equiv 8386\left ( mod10000 \right )$

Tương tự ta cũng tính được

$5555$ phân tích ra thừa số nguyên tố thì chỉ chứa thừa số 5, không chứa thừa số 2, nên: $5555^{2222}\equiv 5555^{555\times 5+2}\equiv 5625\left ( mod10000 \right )$

Do đó 4 chữ số cuối cần tìm là $3993$ .