Đề bài:
Tìm dư khi chia A= \(1^{2015} + 2^{2015} + ... + 2015^{2015}\) cho 11
Bài giải:
Ta chia thành các nhóm sau để tìm dư:
Nhóm 1: Các số từ 1 tới 11, nhưng vì \(1^{2015}\) chia hết cho 11 nên thực chất ta chỉ xét từ 1 tới 10.
Nhóm 2: Các số từ 12 tới 22, và cũng tương tự, ta chỉ xét tới 21.
...v.v
Số nhóm cần tách là: 2015Qa11= = 183 nhóm.
Mặt khác ta có công thức sau:
\((a+b)^n\equiv b^n\,(\text{mod }a\,\,\,(a>0)\)
Ta đi tính dư:
\(\begin{cases}1^{2015}\equiv1 & (\text{mod}\,11)\\2^{2015}\equiv10 & (\text{mod}\,11)\\3^{2015}\equiv1 & (\text{mod}\,11)\\4^{2015}\equiv1 & (\text{mod}\,11)\\5^{2015}\equiv1 & (\text{mod}\,11)\\6^{2015}\equiv10 & (\text{mod}\,11)\\7^{2015}\equiv10 & (\text{mod}\,11)\\8^{2015}\equiv10 & (\text{mod}\,11)\\9^{2015}\equiv1 & (\text{mod}\,11)\\10^{2015}\equiv10 & (\text{mod}\,11)\end{cases}\)
Vậy: